Hi,

• Warum steht 2hoch20 außerhalb der Klammer?

Da Gleitkommazahlen(GKZ) immer in ihrer normalisierten Form, also 1,... , gespeichert werden muss auch immer der Exponent mitgespeichert werden. Dieser gibt an, um wie viele Stellen die Zahl "verschoben" wird. So ist zum Beispiel im Binäsystem 1,1 * 2^1 = 11 oder 1,1 * 2^-1 = 0,11. Wenn du nun wieder die ursprüngliche Zahl berechnen willst, muss du die in der Mantisse gespeicherte Zahl mit 2^E_d multiplizieren, um das Komma wieder an die richtige Stelle zu "schieben".

• Warum fängt es im 2. Schritt bei 1*2^20 an?

Im Umfomungsschritt von 1. auf 2. wird 2^20 in die Klammer gezogen, also ausmultipliziert. Dabei wird jeder Term der Form x * 2^e, wobei x aus {0,1} und e aus {0,...,-23} ist, mit 2^20 multipliziert. Nach den Potenzgesetzen ist 2^x * 2^y = 2^(x+y). Deshalb steht nach der Umformung an erster Stelle 2^0 * 2^20 = 2^(0+20) = 2^20.

• Was hat das mit 10^6 zu tun?

Wenn du jetzt 1654784 als eine Zahl zwischen (0,10) ausdrücken willst, kannst du das gleicher Verfahren anwenden, dass auch bei der Normalisierung von GKZ verwendet wird. Du verschiebst das Komma der Zahl so lange, bis du nur noch eine einzige Ziffer, ungleich 0, vor dem Komma steht. In deinem Beispiel sind das 6 Stellen. Diese Operation ist gleichbedeutend mit dem teilen durch 1.000.000 = 10^6. Um nun wieder die Ursprüngliche Zahl zu erhalten musst du mit dem Teiler multiplizieren. Also 1,654784 = 1654784 / 1.000.000 und 1654784 = 1,654784 * 1.000.000.

Falls du eine Zahl < 0 in dieser Form bringen willst, ist dein Exponent immer negativ, da du das Komma in die andere Richtung schiebst.